Positive operator là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan

Toán tử dương là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert sao cho giá trị nội hàm ⟨Tx, x⟩ luôn không âm với mọi vectơ x trong không gian đó. Chúng đóng vai trò quan trọng trong giải tích, cơ học lượng tử và lý thuyết phổ nhờ phổ luôn nằm trong khoảng [0, ∞) và khả năng xây dựng các hàm toán tử như căn bậc hai.

Định nghĩa toán học của positive operator

Trong không gian Hilbert H \mathcal{H} với tích vô hướng ⟨⋅,⋅⟩ \langle \cdot, \cdot \rangle , một toán tử tuyến tính T:H→H T: \mathcal{H} \to \mathcal{H} được gọi là positive operator nếu nó tự liên hợp (self‑adjoint) và thỏa mãn

⟨Tx,x⟩≥0,∀x∈H\langle T x, x \rangle \ge 0,\quad \forall x \in \mathcal{H}

Điều này có nghĩa rằng mọi vectơ x x trong không gian khi tác động bởi T T sẽ cho giá trị biểu thức ⟨Tx,x⟩ \langle T x, x \rangle không âm. Trong trường hợp phức tạp H \mathcal{H} là không gian Hilbert phức, điều kiện tự liên hợp thường được tự động thỏa mãn nếu ⟨Tx,x⟩ \langle T x, x \rangle thực và không âm. :contentReference[oaicite:0]{index=0}

Liên hệ với toán tử tự liên hợp và phổ toán tử

Một positive operator không chỉ thỏa mãn điều kiện về biểu thức bậc hai trên mọi vectơ mà còn có đặc điểm quan trọng là phổ (spectrum) của nó nằm trong khoảng không âm. Cụ thể với T≥0 T \ge 0 thì

\sigma(T) \subset [0, \infty)\end{script>

Đồng thời, trong trường hợp